PCSI 2 - Devoirs et contrôles (année scolaire 1994-1995)

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Devoir surveillé numéro 1

• Calcul de sum(k³,k=1..n).
• Calcul de int(sum(|x-k|,k=1..n),x=1..n).
• Calcul de sum([k/2],k=1..n).
• Quelques questions sur 1994!.

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

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Devoir surveillé numéro 2

• Question de cours: convergence de sum(1/k²,k=1..n), encadrement de la limite.
• Étude de x -> arccos(sqrt((1+sin(x))/2) - arcsin(sqrt((1+cos(x))/2).
• Étude de la suite de terme général s_n = sum(1/sqrt(k),k=1..n).

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

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Devoir surveillé numéro 3

• 28 questions à réponse OUI/NON sur les suites et les séries.

Ce sujet n'existe que sous forme manuscrite; certaines des questions qui y sont posées apparaissent dans des sujets rédigés les années suivantes: ds 1995/03, ds 1997/04, ds 1997/07, ds 1998/04, ds 1999/03 par exemple.

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Devoir surveillé numéro 4

• Un exercice sur des suites de réels (source: HEC 1989).
• Étude de la solution dans ]1,e[ de l'équation e^x=xⁿ.
• Permutations ne transposant aucune paire (source: EDHEC 1994).

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

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Devoir surveillé numéro 5

• Étude de la solution positive de l'équation x-2ln(1+x)=0.
• Quelques propriétés des nombres de Stirling de deuxième espèce.

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

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Devoir surveillé numéro 6

• Quelques propriétés des nombres de Stirling de première espèce.

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

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Devoir surveillé numéro 7

• Quelques propriétés de f:R -> R vérifiant f circ f=f-2Id.
• Quelques questions autour de la borne supérieure.

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

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Devoir surveillé du numéro 8

• Partie fractionnaire d'un réel; suites périodiques; suites de Christoffel (source: agrégation 1994).

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

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Devoir surveillé du numéro 9

• Groupe des inversibles d'un anneau.
• Construction de quelques contre-exemples en analyse.

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

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Devoir surveillé numéro 10

• Clôture, factorisation, conjugaison dans un monoïde.

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

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Devoir surveillé numéro 11

• Un exercice d'arithmétique.
• Quelques propriétés de la fonction qui, à la partie A de C n associe la réunion de disques fermés D(z,r) où z décrit A
• Autour du module de continuité uniforme.

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

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Devoir surveillé numéro 12

• Applications lipschitziennes.

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

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Devoir surveillé numéro 13

• Étude de P_n = e^1/x dⁿ(exp(-1/x))/(dxⁿ).

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

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Devoir surveillé numéro 14

• Évaluation de l'intégrale de Gauss (source: concours PLP2 1988).

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

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Devoir surveillé numéro 15

• Un exercice sur des projecteurs.
• Étude de f -> G(f), définie par G(f)(x) = int(exp(-t) f(t),t=0..x).

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

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Devoir surveillé numéro 16

• Étude des endomorphismes Delta et T de R^N définis par (Delta u)_n=u_n-u_n+1 et T(u)_n=(Deltaⁿ(u))₀.

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

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Devoir surveillé numéro 17

• Applications fortement convexes (source: ESM de Saint-Cyr 1988).

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

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Devoir surveillé numéro 18

• Quelques propriétés des polynômes de Tchebychev.
• Obtention du DL_n(0) de x -> sqrt(1-4x), puis d'une formule combinatoire.

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

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Devoir surveillé numéro 19

• Détermination de la partie principale de sh o sin - sin o sh au voisinage de 0.
• Factorisation de (X-1)ⁿ-e^2ia(X+1)ⁿ.
• Quelques propriétés de la trace, puis du produit tensoriel.

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

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Devoir surveillé numéro 20

• Calcul de int(1/(1+x²ⁿ),x=0..infinity).

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

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Devoir surveillé numéro 21

• Étude de la suite de terme général I_n = int(tⁿ f(t),t=0..1) (source: INT 1990).

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

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Devoir surveillé numéro 22

• Étude de la fonction de Farey.

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

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