PCSI 2 - Devoirs et contrôles (année scolaire 1992-1993)

---

Devoir surveillé numéro 1

• Partie entière.
• Intégrales et suites (Sup. de Co. Paris 1987 --- Maths III).
• Calcul de la limite de la suite de terme général eⁿ/nⁿ⁺¹ int(xⁿ e^-x,x=0..n).

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

---

Devoir surveillé numéro 2

• Étude de la suite de terme général x_n >= 1 défini par x_n - ln(x_n) = n.
• Suite définie par u_n+2 = (u_n+1² + u_n²) (u_n+1 + u_n); étude de la fonction qui, à x>0, associe la limite de la suite définie par u₀et u₁ (APM 351).

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

---

Devoir surveillé numéro 3

• Nombre de surjections.
• Homographie z -> (z-1)/(z+1) de C.
• Application du théorème de Cesàro à une suite vérifiant u_n+1 = u_n² + u_n.

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

---

Devoir surveillé numéro 4

• Autour de l'équation fonctionnelle f o f = 2 f - Id.
• Comparaison de pgcd(a,b) et pgcd(a²+b²,ab).
• Groupe des inversibles de Z/18Z.
• Étude de la fonction qui à A associe l'ensemble des réels x tels que ]x-e ,x+e[ soit contenu dans A (e est fixé).

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

---

Devoir surveillé numéro 5

• Étude de la fonction x -> arccos(sqrt((1+sin(x))/2) - arcsin(sqrt((1+cos(x))/2)
• Étude de la suite de terme général x_n vérifiant (x_n)ⁿ - n x_n = 1.
• Étude du corps Z/11Z[sqrt(7)].

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

---

Devoir surveillé numéro 6

• Quelques propriétés de la continuité uniforme.
• Suites périodiques; suites périodiques APCR, un algorithme de recherche de la période.

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

---

Devoir surveillé numéro 7

• Convexité de la suite des rangs des itérés d'un endomorphisme d'un K-e.v.
• Expression de la dérivée n-ième de x -> exp(-1/x); étude de la famille de polynômes associée.
• Algèbre linéaire: sous-espaces vectoriels.

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

---

Devoir surveillé du numéro 8

• Une formule d'accroissements finis: f(x+h)-2f(x)+f(x-h) = h² f''(x) + h⁴/12 f⁽⁴⁾(x+th)
• Famille des polynômes X(X-n)^n-1/n!.
• Opérateur de Bernstein.

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

---

Devoir surveillé du numéro 9

• CNS sur le polynôme P_n pour que les primitives de (x²+1)ⁿ/P_n²(x) soient rationnelles (d'après une question d'oral Mines-Ponts).
• Calcul de int(1/(1+x)²ⁿ,x=0..infinity)

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

---

Devoir surveillé numéro 10

• Quelques questions sur les matrices hermitiennes.
• Étude du produit tensoriel de matrices.
• Matrices harmoniques.

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

---

Devoir surveillé numéro 11

• Polynômes de Laguerre.

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

---

Devoir surveillé numéro 12

• Géométrie à coups de produits vectoriels.
• Une courbe paramétrée: x(t) = (t²/(1-t²)(1-2t), y(t) = t³/(1-t³)(1-2t)
• Continuité de formes linéaires.

Le sujet: en PS ou en PDF. (2006-05-13)

---