---

Septembre

• jeudi 2: accueil des étudiants; informations diverses, plus quelques mises en garde; (1 heure)
• vendredi 3: formulaire de trigonométrie (y compris la fonction tan); expression simple de sum(cos(kx),k=0..n) et sum(sin(kx),k=1..n); rappels: formule du binôme, factorielles, coefficients binomiaux, formule de Bernoulli; (2 heures)
• lundi 6: expression simple du produit des n premiers nombres impairs complexes: rappels et compléments; module, inégalité triangulaire; forme exponentielle d'un complexe; (2 heures)
• mercredi 8: forme trigonométrique, arguments, formule de Moivre; formulaire de trigonométrie; racines n-ièmes de l'unité: existence, énumération; somme de ces racines; racines n-ièmes d'un complexe non nul; (2 heures)
• vendredi 10: linéarisation, application au calcul d'intégrales; équations simples: sin(x) = sin(a), cos(x) = cos(a) et tan(x) = tan(a); transformation de l'expression a cos(x) + b sin(x) ; (2 heures)
• lundi 13: opérateur de sommation; linéarité; changement d'indice; exemples divers, dont calcul de la somme des entiers de 1 à n, puis calcul de la somme des carrés des entiers de 1 à n; (2 heures)
• mardi 14: opérateur produit; factorielle; calcul du produit des n premiers nombres impairs; divergence de la suite de terme général H_n=add(1/k,k=1..n); encadrement de H_n par ln(n)) et ln(n+1); convergence de la suite de terme général add(1/k^2,k=1..n), encadrement de sa limite; (2 heures)
• mercredi 15: fonction "partie entière", quelques propriétés; ensembles: notations usuelles, opérations sur les ensembles; fonctions: définition; injections, surjections, bijections; bijection réciproque; composée de bijections, (2 heures)
• vendredi 17: fonctions usuelles: exponentielle de base e, fonctions exponentielles de base quelconque; fonctions logarithmes de base quelconque; définition, étude et propriétés des fonctions arcsin, arccos et arctan; (2 heures)
• lundi 20: expressions des dérivées de arcsin, arccos et arctan; définition, étude et propriétés des fonctions ch, sh et th; définition, étude et propriétés des fonctions argsh, argch et argth; (2 heures)
• mercredi 22: dénombrements: taille de l'union (deux cas), du produit cartésien, de P(E); nombre de fonctions de E dans F; nombre d'injections de E dans F; nombre de permutations de E; exemples de doubles décomptes; exercices;
• vendredi 24: calcul intégral, rappels et compléments; propriétés élémentaires de l'intégrale; définition (pragmatique) d'une fonction continue (ou: de classe C); on admet qu'une telle fonction possède des primitives; définition d'une fonction de classe C¹; formule d'intégration par parties, deux exemples; inégalité de Cauchy-Schwarz; cas d'égalité (2 heures)
• lundi 27: changement de variable dans les intégrales; formule de Taylor avec reste intégral; inégalité de Taylor-Lagrange; exemple d'application: la suite de terme général
• mercredi 29: sum(1/k!,k=0..n) converge vers e; méthode d'étude d'une intégrale fonction de ses bornes; séance d'exercices variés; (2 heures)

---

Octobre

• vendredi 1er octobre: développements limités : définition, exemples, premières propriétés; si f possède une parité, alors la partie régulière du DL possède cette parité; somme et produit de D.L.; (2 heures)
• lundi 4 octobre: obtention des DL des fonctions usuelles avec l'inégalité de Taylor-Lagrange; intégration d'un DL; DL de x -> (1+x)^a; DL de x -> sqrt(1+x); quelques exercices de calcul sur les DL; (2 heures)
• mardi 5 octobre: suites de réels: vocabulaire; modes de définition usuels: explicite, récurrente simple ou double, implicite; définition de la convergence, exemples de suites convergentes, exemples de suites divergentes; unicité de la limite; (2 heures)
• mercredi 6 octobre: élection des délégués; toute suite convergente est bornée; u(n) converge vers 0 ssi |u(n)| converge vers 0; somme et produit de deux suites convergentes; si u(n) converge vers l>0, alors u(n)>l/2 APCR; inverse d'une suite convergente, de limite l>0; (2 heures)
• vendredi 8 octobre: propriétés spécifiques aux suites de réels; si u(n) converge vers l>0, alors u(n)>l/2 APCR; théorème de la limite monotone (admis); suites adjacentes; étude de la série harmonique alternée; (2 heures)
• lundi 11 octobre: relation «être un petit o de»; définition, propriétés croissances comparées des suites de termes généraux respectifs ln(n)^alpha, n^beta, gammaⁿ et n!; exercices; (2 heures)
• mercredi 13 octobre: équivalence de deux suites: définition, propriétés; opérations sur les équivalents, exemples; en particulier, H_n est équivalent à ln(n); notation O (grand O): définition, propriétés; trois exercices illustrant ces notions; (2 heures)
• vendredi 15 octobre: suites de complexes: définition de la convergence; une suite de complexes converge vers a+ib ssi x_n converge vers a et y_n converge vers b; étude des suites définies par u_n+1 = a u_n + b; études des suites définies par u_n+2 = a u_n+1 + b u_n: description de l'ensemble des solutions;
• lundi 18 octobre: lois de composition: définition; propriétés intéressantes: associativité, commutativité, élément neutre, élément régulier, partie stable, élément inversible; quelques exercices;
• mardi 19 octobre: groupes: définition, exemples; sous-groupes: définition, exemples, caractérisation rapide, intersection de deux sous-groupes; morphismes de groupes: définition, exemples; le noyau et l'image d'un morphisme de groupes sont des sous-groupes; description exhaustive des groupes d'ordre 1 à 4;
• mercredi 20 octobre: anneaux; sous-anneaux; morphismes d'anneaux; l'anneau des matrices carrées d'ordre 2; corps: définition, exemples, sous-corps, morphismes; et grande séance d'exercices corrigés (calcul intégral);
• vendredi 22 octobre: caractérisation des intervalles de R; majorant, minorant, plus petit élément, plus grand élément d'une partie de A; définition de la borne supérieure; caracté&risation de celle-ci; définition d'un voisinage; définition de la limite en a d'une fonction f; définition de la continuité en un a; continuité de la somme, du produit par un scalaire; continuité du produit, du quotient (lorsque ceci a un sens);

---

Novembre

• vendredi 5: définition de la continuité de f sur un intervalle; caractérisation séquentielle de la continuité continuité de la composée de deux fonctions; fonctions lipschitziennes: exemples; toute fonction lipschitzienne est continue, la réciproque est fausse;
• lundi 8: théorème des valeurs intermédiaires; toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes; relations de comparaison entre fonctions; croissances comparées usuelles;
• mercredi 10: équivalents usuels (obtenus par examen de la dérivée); développements limités usuels: fonctions exp, sin, cos, arctan, x -> ln(1+x), sh, ch, x -> (1+x)^a avec a n'appartenant pas à N;
• vendredi 12: dérivation: rappels; f est dérivable en a ssi f possède un DL₁(a); théorèmes relatifs à la somme, au produit, au quotient, à la composée, à la réciproque de fonctions dérivables;
• lundi 15: dérivées successives de x -> sqrt(x); preuve d'une égalité, utilisant l'étude précédente; étude des dérivées successives de x -> exp(-1/x);
• mardi 16: théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, inégalité des accroissements finis; dérivées successives; définition des classes Dⁿ, Cⁿ et C^infini;
• mercredi 17: théorèmes relatifs à la somme, au produit (formule de Leibniz), au quotient, à la composée, à la réciproque de fonctions de classe Dⁿ; dexpressions des dérivées successives de x -> xⁿ et x -> 1/x;
• vendredi 19: maximum global, maximum local; en un maximum local qui n'est pas une borne de l'intervalle, f' s'annule; théorème dit «de la limite de la dérivée»; étude de x -> x sin(1/x), puis de x -> x² sin(1/x);
• lundi 22: théorème de Rolle généralisé; plan pour l'étude d'une fonction; méthode d'étude des branches infinies; mise en évidence d'asymptotes, détermination de leurs équations respectives; recherche de points intéressants (points doubles, intersection de la courbe et d'une asymptote, par exemple); exemples d'études;
• mercredi 24: définition d'un arc paramétré, puis d'une courbe paramétrée; étude des branches infinies; étude de points particuliers, prolongements par continuité; exemples d'études; calculs mêlant points et vecteurs; rappels sur le barycentre de deux points;
• vendredi 26: définition d'une partie convexe du plan; exemple: disque ouvert; définition d'une fonction convexe (l'épigraphe est une partie convexe du plan); exemples: x -> ax+b, x -> x²;
• lundi 29: inégalité de convexité à deux points; inégalité de convexité à n points; caractérisation de la convexité par les cordes; caractérisation par les fonctions F_x; caractérisation des fonctions convexes de classe D¹, puis de classe D²;
• mardi 30: espaces vectoriels: définition, exemples; règles de calcul dans les espaces vectoriels; combinaisons linéaires; sous-espaces: exemples, propriétés, caractérisation rapide; s.e.v. engendré par une partie non vide; caractérisation des s.e.v. par les combinaisons linéaires;

---

Décembre

• mercredi 1^er: somme de deux s.e.v.; somme directe; supplémentaires; s.e.v. engendré par une partie non vide; caractérisation des s.e.v. par les combinaisons linéaires; somme de deux s.e.v.; somme directe; supplémentaires; familles génératrices, espaces de dimension finie; familles libres: propriétés; lemme technique (toute famille de p+1 combinaisons linéaires de p vecteurs est liée);
• vendredi 3: bases d'un e.v. de dimension finie; théorème de la base incomplète; toutes les bases ont le même cardinal; dimension d'un s.e.v.; relations de Grassmann;
• lundi 6: applications linéaires: définition, exemples; caractérisation des applications linéaires par la conservation des combinaisons linéaires;
• mercredi 8: diverses caractérisations des isomorphismes entre K-e.v. de même dimension finie; séance d'exercices;
• vendredi 10: séance d'exercices d'algèbre linéaire (1);
• lundi 13: séance d'exercices d'algèbre linéaire (2);
• mardi 14: équation différentielle y'(t) + a(t) y(t) = 0; résolution de cette équation; équation différentielle y'(t) + a(t) y(t) = b(t); résolution de cette équation:
• mercredi 15: méthode dite de variation de la constante; méthode consistant à trouver une solution particulière; quelques exemples de recollements (non requis dans le cadre du programme de PCSI);
• vendredi 17: séance d'exercices d'algèbre linéaire (3);

---

Janvier

• lundi 3 janvier:
• mercredi 5 janvier:
• vendredi 7 janvier:
• lundi 10 janvier:
• mardi 7 janvier: *** PAS DE COURS ***
• mercredi 8 janvier: *** PAS DE COURS ***
• vendredi 10 janvier: *** PAS DE COURS ***

---

Février

---

Mars

---

Avril

---

Mai

---

Juin