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Septembre

• mercredi 2: complexes: rappels et compléments; module, inégalité triangulaire; forme exponentielle d'un complexe; forme trigonométrique, arguments, formule de Moivre; formulaire de trigonométrie; racines n-ièmes de l'unité: existence, énumération; somme de ces racines; racines n-ièmes d'un complexe non nul; (3 heures)
• vendredi 4: expression simple de sum(cos(kx),k=0..n) et sum(sin(kx),k=1..n); linéarisation, application au calcul d'intégrales; (2 heures)
• lundi 7: équations simples: sin(x) = sin(a), cos(x) = cos(a) et tan(x) = tan(a); transformation de l'expression a cos(x) + b sin(x) ; exponentielle d'un complexe; interprétation géométrique des complexes: points, vecteurs, normes, angles, translations, homothéties, rotations, similitudes; (2 heures)
• mercredi 9: opérateur de sommation; linéarité; changement d'indice; exemples divers, dont le calcul de la somme des entiers de 1 à n, puis calcul de la somme des carrés des entiers de 1 à n; sommation d'inégalités; exemples de sommations faisant intervenir des coefficients binomiaux; exemples de sommes doubles; exemples de sommes triangulaires; opérateur produit; factorielle; calcul du produit des n premiers nombres impairs; divergence de la suite de terme général H_nadd(1/k,k=1..n); encadrement de H_n par ln(n)) et ln(n+1); convergence de la suite de terme général add(1/k^2,k=1..n), encadrement de sa limite; (4 heures)
• vendredi 11: ensembles: notations usuelles, opérations sur les ensembles; fonctions: définition; injections, surjections, bijections; bijection réciproque; composée de bijections, formule pour la bijection réciproque de g o f; quelques exercices; (2 heures)
• lundi 14: fonctions usuelles: exponentielle de base e, fonctions exponentielles de base quelconque; fonctions logarithmes de base quelconque; quelques exercices (2 heures)
• mardi 15: définition, étude et propriétés des fonctions arcsin, arccos et arctan; exercices; (2 heures);
• mercredi 16: Maple: notion de feuille de calcul; exemples de calculs simples; exemples de calculs plus conséquentes (sommation, intégrales, tracés de courbes ou de familles de courbes); parties paire et impaire d'une fonction; définition, étude et propriétés des fonctions de ch, sh et th; définition, étude et propriétés des fonctions argsh, argch et argth; (2 heures);
• vendredi 18: dénombrements: taille de l'union (deux cas), du produit cartésien, de P(E); nombre de fonctions de E dans F; nombre d'injections de E dans F; nombre de permutations de E; exemples de doubles décomptes; exercices; (2 heures)
• lundi 21: calcul intégral, rappels et compléments; propriétés élémentaires de l'intégrale; définition (pragmatique) d'une fonction continue (ou: de classe C); on admet qu'une telle fonction possède des primitives; définition d'une fonction de classe C¹; formule d'intégration par parties, deux exemples; inégalité de Cauchy-Schwarz; cas d'égalité (2 heures)
• mercredi 23: sommes de Riemann; preuve de la convergence dans le cas où f est monotone; définition d'une fonction lipschitziene, exemples, quelques propriétés; changement de variable dans les intégrales; preuve de la convergence dans le cas où f est lipschitziene; (2 heures)
• vendredi 25: changement de variable dans les intégrales; formule de Taylor avec reste intégral; inégalité de Taylor-Lagrange; exemple d'aplication: la suite de terme général sum(1/k!,k=0..n) converge vers e; méthode d'étude d'une intégrale fonction de ses bornes; (2 heures)
• lundi 28: méthode d'étude d'une intégrale fonction de ses bornes; (2 heures)
• mardi 29: développements limités : définition, exemples, premières propriétés; le DL₀(a) de f existe ssi f est continue en a; le DL₁(a) de f existe ssi f est dérivable en a; si f possède une parité, alors la partie régulière du DL possède cette parité; somme et produit de D.L.; obtention des DL des fonctions usuelles avec l'inégalité de Taylor-Lagrange; intégration d'un DL; (2 heures)
• mercredi 30: DL de x -> (1+x)^a; DL de x -> sqrt(1+x); élection des délégués; équations différentielles: généralités; équation y'+a(x)y=0; (2 heures)

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Octobre

• lundi 5: équation y'+a(x)y=b(x); exemples de résolutions; méthode variation de la constante;
• mercredi 7: suites de réels: vocabulaire, modes de définition usuels (explicite, récurrente simple ou double, implicite); définition de la convergence, exemple de suite convergente, exemples de suites divergentes; unicité de la limite; (2 heures)
• vendredi 9: toute suite convergente est bornée; u(n) converge vers 0 ssi |u(n)| converge vers 0; somme et produit de deux suites convergentes; si u(n) converge vers l>0, alors u(n)>l/2 APCR; inverse d'une suite convergente, de limite l>0; (2 heures)
• lundi 12: propriétés spécifiques aux suites de réels; si u(n) converge vers l>0, alors u(n)>l/2 APCR; théorème de la limite monotone (admis); suites adjacentes; étude de la série harmonique alternée; (2 heures)
• mercredi 14: relation «être un petit o de»; définition, propriétés croissances comparées des suites de termes généraux respectifs ln(n)^alpha, n^beta, gammaⁿ et n!; équivalence de deux suites: définition, propriétés; opérations sur les équivalents, exemples; en particulier, H_n est équivalent à ln(n); notation O (grand O): définition, propriétés; trois exercices illustrant ces notions; (2 heures)
• vendredi 16: suites de complexes: définition de la convergence; une suite de complexes converge vers a+ib ssi x_n converge vers a et y_n converge vers b; étude des suites définies par u_n+1 = a u_n + b; études des suites définies par u_n+2 = a u_n+1 + b u_n: description de l'ensemble des solutions; (2 heures)
• lundi 19: coniques: généralités; définition monofocale; la parabole: équation réduite, paramétrage, équation d'une tangente; ellipse définie monofocalement: équation réduite, allure de la courbe, définition de a, b et c, relation entre ces valeurs; paramétrages; cercle principal, anomalie excentrique; aire de l'ellipse; (2 heures)
• mercredi 21: hyperbole définie monofocalement: équation réduite, asymptotes, allure de la courbe, définition de a, b et c, relation entre ces valeurs; paramétrages; (2 heures)
• vendredi 23: équation différentielle y''+ay'+by = 0: résolution; équation différentielle y''+ay'+by = sum(P_k(t) exp(a_kt)): calcul d'une solution particulière;

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Novembre

• lundi 9: groupes: définition, exemples; sous-groupes: définition, exemples, caractérisation rapide, intersection de deux sous-groupes; morphismes de groupes: définition, exemples; le noyau et l'image d'un morphisme de groupes sont des sous-groupes; description des groupes d'ordre 1 à 4;
• mardi 10: première approche des matrices: matrices carrées d'ordre 2, à coefficients dans R; addition de deux matrices; produit de deux matrices, propriétés; le produit n'est ni commutatif, ni régulier; déterminant d'une matrice carrée d'ordre 2; caractérisation des matrices inversibles; expression de l'inverse d'une telle matrice;
• vendredi 13: anneaux; sous-anneaux; morphismes d'anneaux; l'anneau des matrices carrées d'ordre 2; corps: définition, exemples, sous-corps, morphismes;
• lundi 16: définition de la borne supérieure d'une partie non vide de R; propriétés; description des intervalles de R; tout intervalle de R d'amplitude non nulle contient au moins un rationnel et au moins un irrationnel;
• mercredi 18: continuité d'une fonction d'une variable réelle en un point de son intervalle de définition; caractérisation séquentielle de la continuité en un point; opérations sur les fonctions continues: somme, produit, quotient; notation C(I,R);
• vendredi 20: relations de comparaison entre fonctions; croissances comparées usuelles; équivalents usuels (obtenus par examen de la dérivée);
• lundi 23: théorème des valeurs intermédiaires; toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes;
• mardi 24: dérivation: rappels; f est dérivable en a ssi f possède un DL₁(a); théorèmes relatifs à la somme, au produit, au quotient, à la composée, à la réciproque de fonctions dérivables;
• mercredi 25: théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, inégalité des accroissements finis;
• vendredi 27: dérivées successives; définition des classes Dⁿ, Cⁿ et C^infini; théorèmes relatifs à la somme, au produit (formule de Leibniz), au quotient, à la composée, à la réciproque de fonctions de classe Dⁿ; dérivées successives de x -> xⁿ et x -> 1/x;
• lundi 30: dérivées successives de x -> sqrt(x); preuve d'une égalité, utilisant l'étude précédente; étude des dérivées successives de x -> exp(-1/x);

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Décembre

• mardi 1^er: maximum global, maximum local; en un maximum local qui n'est pas une borne de l'intervalle, f' s'annule; théorème dit «de la limite de la dérivée»; étude de x -> x sin(1/x), puis de x -> x² sin(1/x); théorème de Rolle généralisé;
• mercredi 2: plan pour l'étude d'une fonction; méthode d'étude des branches infinies;
• vendredi 4: calculs mêlant points et vecteurs; rappels sur le barycentre de deux points; définition d'une partie convexe du plan; exemple: disque ouvert; définition d'une fonction convexe (l'épigraphe est une partie convexe du plan); exemples: x -> ax+b, x -> x²;
• lundi 7: inégalité de convexité à deux points; inégalité de convexité à n points; caractérisation de la convexité par les cordes; caractérisation par les fonctions F_x; caractérisation des fonctions convexes de classe D¹, puis de classe D²;
• mercredi 9: espaces vectoriels: définition, exemples; règles de calcul dans les espaces vectoriels; combinaisons linéaires; sous-espaces: exemples, propriétés, caractérisation rapide;
• vendredi 11: s.e.v. engendré par une partie non vide; caractérisation des s.e.v. par les combinaisons linéaires; somme de deux s.e.v.; somme directe; supplémentaires;
• lundi 14: familles génératrices, espaces de dimension finie; familles libres: propriétés; lemme technique (toute famille de p+1 combinaisons linéaires de p vecteurs est liée); bases d'un e.v. de dimension finie; théorème de la base incomplète; toutes les bases ont le même cardinal; dimension d'un s.e.v.; relations de Grassmann;
• mercredi 16: théorème de la base incomplète; toutes les bases ont le même cardinal; dimension d'un s.e.v.; relations de Grassmann; applications linéaires: définition, exemples; caractérisation des applications linéaires par la conservation des combinaisons linéaires;
• vendredi 18: dérivées successives de x -> sqrt(x); preuve d'une égalité, utilisant l'étude précédente; étude des dérivées successives de x -> exp(-1/x);

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Janvier

• lundi 4: diverses caractérisations des isomorphismes entre K-e.v. de même dimension finie; séance d'exercices;
• mercredi 6: matrices: définition, structure de K-e.v. de M_n,p(K); base canonique de M_n,p(K); isomorphisme avec L(K^p,Kⁿ);
• jeudi 7: produit matriciel; associativité; structure d'anneau de M_n(K), isomorphisme avec L(Kⁿ); matrices inversibles; groupe GL_n(K);
• vendredi 8: matrices de passage; changement de base; effet sur les coordonnées d'un vecteur, sur la matrice d'une application linéaire;
• lundi 11: matrices triangulaires, diagonales; transposition, matrices symétriques; rang d'une matrice; caractérisation des matrices de rang r;
• mercredi 13: opérations élémentaires, interprétation en termes de produits matriciels; algorithme de calcul du rang d'une matrice; algorithme de calcul de l'inverse d'une matrice carrée; calcul pratique, au moyen d'opérations sur les lignes; exercices;
• jeudi 14: exercices: deux QCM (algèbre linéaire, calcul matriciel);
• vendredi 15 : séance d'exercices d'algèbre linéaire et calcul matriciel;
• lundi 18 : algèbre bilinéaire: produit scalaire: définiton, exemples; norme euclidienne, propriétés, théorème de Pythagore, inégalité de Cauchy-Schwarz (1 heure);
• mercredi 20: exercices (algèbre linéaire, matrices, polynômes)
• vendredi 22: définition des endomorphismes orthogonaux; caractérisations pour le cas d'un espace euclidien; groupe orthogonal d'un espace euclidien; matrices orthogonales;
• lundi 25:
• lundi ^er: orthogonal d'une partie, puis d'un s.e.v. d'un espace euclidien; somme directe orthogonale de deux s.e.v.; existence du supplémentaire orthogonal; matrices orthogonales;
• mardi 26: orthogonalisation de Schmidt, exemples pratiques; description de O(2) et GO(R²); rotations et symétries de $2;
• mercredi 27: TD: exercices d'algèbre linéaire et de calcul matriciel
• vendredi 29: polynômes: définition, exemples; opérations sur les polynômes: somme, produit par un scalaire; structure d'e.v. de K[X]; degré d'un polynôme, degré de la somme de deux polynômes; produit de polynômes; structure d'anneau;

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Février

• mercredi 3: base canonique de K_n[X]; toute famille de polynômes à degrés échelonnés de 0 à n est une base de K_n[X]; base canonique de K[X]; définition de X; fonction polynôme associée à un polynôme; racines d'un polynôme: définition, un polynôme de degré au plus n possédant au moins n+1 racines est nécessairement le polynôme nul;
• vendredi 5: dérivation des polynômes; formule de LEIBNIZ pour les polynômes; interpolation de Lagrange; description de la base de Lagrange;
• lundi 8: formules de TAYLOR pour les polynômes; relation entre ordre d'une racine de P, et racines des polynômes dérivés de P; décomposition en produit de facteurs irréductibles; description des polynômes irréductibles de C[X] et R[X]; extension de la notion de fonction polynôme; P(X) = P; un peu de culture: équations algébriques, élément algébrique sur un corps, X n'est pas algébrique sur K;
• mercredi 10: algèbre bilinéaire: produit scalaire: définiton, exemples; norme euclidienne, propriétés, théorème de Pythagore, inégalité de Cauchy-Schwarz (1 heure); exercices (algèbre linéaire, matrices, polynômes)
• vendredi 12: procédé de Schmidt; définition des endomorphismes orthogonaux; caractérisations pour le cas d'un espace euclidien; groupe orthogonal d'un espace euclidien; orthogonal d'une partie, puis d'un s.e.v. d'un espace euclidien; somme directe orthogonale de deux s.e.v.; existence du supplémentaire orthogonal; matrices orthogonales;
• lundi 15: description de O(2) et GO(R²); déterminant d'une matrice carrée d'ordre 2: propriétés, det(M) est nul ssi M n'est pas inversible;
• mercredi 17:
• vendredi 19:

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Mars

• lundi 8: espaces vectoriels normés: définition, exemples; boules ouvertes, voisinages, fermées; définition d'un ouvert; fonctions à valeurs dans un e.v.n.: limite, continuité, dérivabilité;
• mercredi 10: normes équivalentes: définition, exemples; exemple de normes non équivalentes;
• vendredi 12: arcs paramétrés, étude globale; exercices sur les espaces euclidiens;
• lundi 15: arcs paramétrés, étude locale; exercices sur les espaces euclidiens;
• mercredi 17:
• vendredi 19:
• lundi 22:
• mardi 23:
• mercredi 24:
• vendredi 26:
• lundi 29:
• mardi 30:
• mercredi 31:

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Avril

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Mai

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Juin