\section{La conjecture de \NomPropre{\v Cern\'y} dans un cas particulier}\begin{panneau}Dans les deux questions suivantes, $\sim$ est une relation d'Žquivalence sur $Q$, d'index $r$. \end{panneau}\begin{question}Soient $q$ et $q'$ deux ŽlŽments de $Q$. Montrez que si $\mmm(q) \sim \mmm(q')$ pour tout mot $m$ de longueur infŽrieure ou Žgale ˆ $n-r+1$, alors $\mmm(q) \sim \mmm(q')$ pour tout mot $m$.\end{question}\begin{question}Soit $Z$ une famille de $r$ ŽlŽments de $Q$. Supposons que $\mmm(Z)$ est un transversal de $\sim$ pour tout mot $m$ de longueur infŽrieure ou Žgale ˆ $n-r+1$. Montrez que $\mmm(Z)$ est un transversal de $\sim$ pour tout mot $m$.\end{question}\begin{question}Soit $w$ un mot de rang au plus $r$. Montrez que s'il existe un mot de rang strictement infŽrieur ˆ $r$, alors il existe un mot de rang strictement infŽrieur ˆ $r$, et de longueur au plus Žgale ˆ $2 |w| + n - r + 1$.\end{question}\begin{question}Supposons qu'il existe une lettre de rang $r<n$ et un mot de rang $k<r$. Montrez qu'il existe un mot de rang $k$ et de longueur au plus Žgale ˆ $(2^{r-k}-1)(n-r+1)+2^{r-k+1}-(r-k+1)$.\end{question}\begin{question}En dŽduire que s'il existe une lettre de rang $r˛1+\lg(n)$, alors il existe un mot synchronisant de longueur au plus $(n-1)^2$.\end{question}\endinput\begin{panneau}\end{panneau}