\section{Un lemme ˆ la faon de Moore}\begin{panneau}Soient $\VVV$ un s.e.v. de $\R^n$ de dimension $p$ et $v$ un ŽlŽment de $\VVV$. Nous nous proposons d'Žtablir le rŽsultat suivant: si $\mmm(v)$ appartient ˆ $\VVV$ pour tout mot $m$ de longueur infŽrieure ou Žgale ˆ $p$, alors $\mmm(v)$ appartient ˆ $\VVV$ pour tout mot $m$.\end{panneau}\begin{question}RŽglez brivement le cas o $v$ est le vecteur nul.\end{question}\begin{panneau}Nous supposons dŽsormais $v$ non nul. Notons $\WWW_i$ le s.e.v. de $\EEE$ engendrŽ par l'ensemble des $\mmm(v)$, o $m$ dŽcrit l'ensemble des mots de longueur au plus $i$.\end{panneau}\begin{question}Que pouvez-vous dire de $\WWW_0$?\end{question}\begin{question}Montrez que la suite $(\WWW_i)_{i\in\N}$ est croissante.\end{question}\begin{question}Montrez que la suite $(\WWW_i)_{i\in\N}$ est stationnaire.\end{question}\begin{question}Montrez que $\WWW_{i+1}$ est engendrŽ par la rŽunion de $\WWW_i$ et de $\WWW_i \cdot \Alphabet$.\end{question}\begin{question}En dŽduire que, si $\WWW_{i+1} = \WWW_i$ pour un certain indice $i$, alors $\WWW_{i+k} = \WWW_i$ pour tout $k\in\N$.\end{question}\begin{question}Montrez que la suite $(\WWW_i)_{0²i²p}$ ne peut tre strictement croisante.\end{question}\begin{question}Et maintenant, concluez!\end{question}\begin{question}Soient $\VVV$ un s.e.v. de $\R^n$ de dimension $p$ et $v$ un vecteur n'appartenant pas ˆ $\VVV$; notons ${\cal V}$ le sous-espace affine $v+\VVV$ de $\R^n$. En vous inspirant de la dŽmarche qui vient d'tre adoptŽe, Žtablissez le rŽsultat suivant: si $\mmm(v)$ appartient ˆ ${\cal V}$ pour tout mot $m$ de longueur infŽrieure ou Žgale ˆ $p+1$, alors $\mmm(v)$ appartient ˆ ${\cal V}$ pour tout mot $m$.\end{question}\endinput