\section{Un peu d'alg�bre (lin�aire et bilin�aire)}\begin{panneau}Le $\R$-e.v. $\R^n$ est muni du produit scalaire canonique; le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sera not� $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ ou $\proscal{\overrightarrow{u}}{\overrightarrow{v}}$ selon le contexte. Nous identifierons les �tats de $Q$ aux �l�ments de la base canonique de $\R^n$, que nous noterons $\BBB = (q_j)_{1�j�n}$. Pour toute partie $K$ de $Q$, nous noterons $\displaystyle \overrightarrow{K} = \sum_{q\in K} q$.\end{panneau}\begin{question}Soient $K_1$ et $K_2$ deux parties de $Q$; montrez que $|K_1 \cap K_2|$ est �gal au produit scalaire $\proscal{\overrightarrow{K_1}}{\overrightarrow{K_2}}$.\end{question}\begin{panneau}Soit $\sim$ une relation d'�quivalence sur $\BBB$; notons $S_1,\ldots,S_r$ les classes modulo $\sim$: nous dirons que $r$ est l'\emph{index} de $\sim$. \end{panneau}\begin{question}Soient $q\in Q$ et $i\in\IntervalleDiscret{1}{r}$. Montrez que $\proscal{q}{\overrightarrow{S_i}}$ est �gal �~1 si $q$ appartient � $S_i$, �~0 sinon.\end{question}\begin{question}Montrez que la famille $\bigl( \overrightarrow{S_i} )_{1�i�r}$ est libre.\end{question}\begin{panneau}Notons $\FFF$ le s.e.v. de $\R^n$ engendr� par la famille $\bigl( \overrightarrow{S_i} )_{1�i�r}$; et $\GGG$ le s.e.v. de $\R^n$ engendr� par les vecteurs $q_j-q_k$ tels que $q_j \sim q_k$.\end{panneau}\begin{question}Justifiez l'affirmation suivante: si $q_j \sim q_k$, alors $q_j-q_k$ est orthogonal � chaque $\overrightarrow{S_i}$.\end{question}\begin{panneau}Nous venons de montrer que les s.e.v. $\FFF$ et $\GGG$ sont orthogonaux.\end{panneau}\begin{question}Montrez que tout �l�ment de ${\cal B}$ est la somme d'un �l�ment de $\FFF$ et d'un �l�ment de $\GGG$.\end{question}\begin{question}Que pouvez-vous affirmer au sujet de deux s.e.v. $\FFF$ et $\GGG$?\end{question}\begin{panneau}Soit $m\in \Alphabet^*$; il existe un et un seul endomorphisme qui envoie chaque $q_j$ sur $\mmm(q_j)$; nous le noterons $\mmm$. Remarquons que $\rho(m)$ est aussi le rang de $\mmm$.\end{panneau}\begin{question}\DoubleEtoileSoit $K \subset Q$. Montrez que $\overrightarrow{\mmm(K)} = \mmm\bigl( \overrightarrow{K} \bigr)$ ssi la restriction de $\mmm$ � $K$ est injective.\end{question}\begin{panneau}Soit $T = (t_i)_{1�i�r}$ une famille de $r$ �l�ments de $Q$. Nous dirons que $T$ est un \emph{transversal} de $\sim$ si $T$ contient un et un seul �l�ment de chaque classe modulo $\sim$.\end{panneau}\begin{question}Montrez que $T$ est un transversal de $\sim$ ssi $\proscal{\overrightarrow{T}}{\overrightarrow{S_i}} = 1$ pour tout $i\in\IntervalleDiscret{1}{r}$.\end{question}\begin{question}Montrez que si $\mmm(T)$ est un transversal de $\sim$, alors $T$ est lui aussi un transversal de $\sim$.\end{question}\endinput