\section{Id�aux de $\Alphabet^*$}\begin{panneau}Un \emph{id�al} de $\Alphabet^*$ est un langage $L$ v�rifiant $L = \Alphabet^* L \Alphabet^*$. Nous avons montr� � la question~\ref{sync-ideal} que $\Sync({\cal A})$ est un id�al. \end{panneau}\begin{panneau}Soient $L \subset \Alphabet^*$ et $m\in L$. Nous dirons que $m$ est \emph{minimal} si aucun facteur de $m$ (autre que $m$ lui-m�me) n'appartient � $L$. Nous noterons $\Base(L)$ l'ensemble des mots minimaux de $L$. Soit $L$ un id�al de $\Alphabet^*$. \end{panneau}\begin{question}Montrez que $L$ est vide ssi $\Base(L)$ est vide.\end{question}\begin{question}Montrez que $L = \Alphabet^* \Base(L) \Alphabet^*$.\end{question}\begin{question}Montrez que toute partie $C$ de $\Alphabet^*$ telle que $L = \Alphabet^* C \Alphabet^*$ contient $\Base(L)$.\end{question}\begin{panneau}$\Base(L)$ est donc la plus petite partie g�n�ratrice de $L$; nous dirons que c'est la \emph{base} de $L$.Nous dirons qu'un id�al est \emph{de type fini} si sa base est finie.\end{panneau}\begin{question}Justifiez rapidement l'affirmation suivante: tout id�al de type fini est rationnel.\end{question}\begin{question}Exhibez un id�al rationnel qui ne soit pas de type fini.\end{question}\begin{question}\DoubleEtoileExhibez un id�al non rationnel.\end{question}\begin{question}Soient $L$ et $M$ deux id�aux de $\Alphabet^*$. Le langage $L \cup M$ est-il un id�al de $\Alphabet^*$? Le langage $L \cdot M$ est-il un id�al de $\Alphabet^*$? \end{question}\begin{question}Soit $L$ un id�al de $\Alphabet^*$. Donnez une condition n�cessaire et suffisante pour que $L^*$ soit un id�al de $\Alphabet^*$.\end{question}\endinput