Septembre

• mardi 2: complexes: rappels et compléments; module, inégalité triangulaire; racines carrées d'un complexe; résolution de l'équation du second degré; exemple de résolution d'une équation particulière de degré 3; (2 heures)
• mercredi 3: forme trigonométrique, forme exponentielle d'un complexe; arguments, formule de Moivre; racines n-ièmes de l'unité: existence, énumération; somme de ces racines; racines n-ièmes d'un complexe non nul; (2 heures)
• vendredi 5: formulaire de trigonométrie; expression simple de sum(cos(kx),k=0..n); (2 heures)
  
• lundi 8: linéarisation, application au calcul d'intégrales; équations simples: sin(x) = sin(a), cos(x) = cos(a) et tan(x) = tan(a); transformation de l'expression a cos(x) + b sin(x) ; exponentielle d'un complexe; (2 heures)
• mardi 9: interprétation géométrique des complexes: points, vecteurs, nromes, angles, translations, homothéties, rotations, similitudes; (1 heure) ensembles: rappels sur les notations; fonctions: injections, surjections, bijections; bijection réciproque; composée de bijections, forme pour la bijection réciproque de g o f; (1 heure)
• mercredi 10: définition, étude et propriétés des fonctions arcsin, arccos et arctan (2 heures); Maple: notion de feuille de calcul; exemples de calculs portant sur les entiers et les rationnels; exemples de calculs sur nombres à virgule (1 heure);
• vendredi 12: parties paire et impaire d'une fonction; définition, étude et propriétés des fonctions de ch, sh et th; définition et propriétés de argsh et argch (2 heures);
• lundi 15: définition et propriétés de argth; fonctions exponentielles de base quelconque; fonctions logarithmes de base quelconque; quelques exercices (2 heures);
• mercredi 17: opérateur de sommation; linéarité; changement d'indice; exemples divers, dont calcul de la somme des entiers de 1 à n, puis calcul de la somme des carrés; sommation d'inégalités; (2 heures);
• vendredi 19: convergence de la suite de terme général sum(1/k^2,k=1..n), encadrement de sa limite; opérateur produit; factorielle; calcul du produit des n premiers nombres impairs; exercices (2 heures)
• lundi 22: dénombrements: taille de l'union, du produit cartésien, de P(E); nombre de fonctions de E dans F; nombre d'injections; exercices; (2 heures)
• mardi 23: nombre de k-parties d'un ensemble à n éléments; exemples de sommations faisant intervenir des coefficients binomiaux; exemples de doubles décomptes; calcul intégral, rappels; propriétés élémentaires de l'intégrale; formule d'intégration par parties; inégalité de Cauchy-Schwarz; (2 heures)
• mercredi 24: cas d'égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz; formule de Taylor avec reste intégral; inégalité de Taylor-Lagrange; quelques exercices; (2 heures)
• vendredi 26: élection des délégués; sommes de Riemann; preuve de la convergence dans le cas où f est monotone; changement de variable dans les intégrales; (2 heures)
• lundi 29: changement de variable dans les intégrales (fin); méthode d'étude d'une intégrale fonction de ses bornes; (2 heures)

Octobre

• mercredi 1er: fonction partie entière; raisonnement par récurrence; (2 heures)
• vendredi 3: équations différentielles: généralités; équation y'+a(x)y=0; équation y'+a(x)y=b(x); (2 heures)
• lundi 6: exemples de résolutions; méthode variation de la constante; équation différentielle y''+ay'+by = 0; (2 heures)
• mardi 7: équation différentielle y''+ay'+by = sum(P_k(x)exp(a_k*x)): méthode de résolution; étude des cas particuliers y'' + k y = 0; première approche des matrices: matrices carrées d'ordre 2, à coefficients dans R ou dans C; addition, produit par un scalaire, propriétés; (2 heures)
• mercredi 8: produit de deux matrices, propriétés; le produit n'est ni commutatif, ni régulier; déterminant d'une matrice carrée d'ordre 2; caractérisation des matrices inversibles; expression de l'inverse d'une telle matrice; transposition, propriétés; (2 heures)
• vendredi 10: généralités sur les suites; suites de réels: vocabulaire, modes de définition usuels (explicite, récurrente simple ou double, implicite); définition de la convergence, exemple de suite convergente, exemple de suite divergente; unicité de la limite; (2 heures)
• lundi 13: somme et produit de deux suites convergentes; inverse d'une suite convergente, de limite l>0; toute suite convergente est bornée; u(n) converge vers 0 ssi |u(n)| converge vers 0; propriétés spécifiques aux suites de réels; si u(n) converge vers l>0, alors u(n)>l/2 APCR; théorème de la limite monotone
• mercredi 15: suites adjacentes, série harmonique alternée; relation «être un petit o de»; définition, propriétés croissances comparées des suites de termes généraux respectifs ln(n)^alpha, n^beta, gammaⁿ et n!;
• vendredi 17: équivalence de deux suites: définition, propriétés, opérations sur les équivalents, exemples; en particulier, H_n est équivalent à ln(n); relation «être un petit o de» notation O (grand O): définition, propriétés;
• lundi 20: développement asymptotique à deux termes de H_n; étude des suites définies par u_n+1 = a u_n + b;
• mardi 21: suites de complexes: définition de la convergence; une suite de complexes converge vers a+ib ssi x_n converge vers a et y_n converge vers b; études des suites définies par u_n+2 = a u_n+1 + b u_n: description de l'ensemble des solutions;
• mercredi 22: lois de composition: vocabulaire, exemples, propriétés; groupes: définition, exemples;
• vendredi 24: sous-groupes: définition, intersection de deux sous-groupes; morphismes de groupes: définition, exemples; le noyau et l'image d'un morphisme soont des sous-groupes;; description des groupes d'ordre 1 à 4;

Novembre

• vendredi 7: anneaux; sous-anneaux; morphismes d'anneaux; l'anneau des matrices carrées d'ordre 2;
• lundi 10: corps: définition, exemples, sous-corps, morphismes;
• mercredi 12: tout intervalle de R d'amplitude non nulle contient au moins un rationnel et au moins un irrationnel; définition de la borne supérieure, propriétés; description des intervalles de R;
• vendredi 14: continuité d'une fonction d'une variable réelle en un point de son intervalle de définition; caractérisation séquentielle de la continuité en un point; opérations sur les fonctions continues: somme, produit, quotient, composition, notation C(I,R); théorème des valeurs intermédiaires;
• lundi 17: toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes; théorème de la bijection; fonctions équivalentes; relation «être un petit o de»; notation O (grand O):
• mardi 18: croissances comparées usuelles; équivalents usuels (obtenus par examen de la dérivée); fonctions lipschitziennes: définition, exemples; propriétés élémentaires;
• mercredi 19: dérivation: rappels; f est dérivable en a ssi f possède un DL₁(a); théorèmes relatifs à la somme, au produit, au quotient, à la composée, à la réciproque de fonctions dérivables;
• vendredi 21: théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, inégalité des accroissements finis; lien entre le signe de f' et le sens de variation de f: CNS pour que f soit croissante, CNS pour que f soit strictement croissante; pour une fonction dérivable f, la meilleure constante de Lipschitz est la borne supérieure de f';
• lundi 24: dérivées successives; définition des classes Dⁿ, Cⁿ et C^infini; théorèmes relatifs à la somme, au produit (formule de Leibniz), au quotient, à la composée, à la réciproque de fonctions de classe Dⁿ; dérivées successives de x -> xⁿ et x -> 1/x; dérivées successives de x -> sqrt(x);
• mercredi 26: maximum global, maximum local; en un maximum local qui n'est pas une borne de l'intervalle, f' s'annule; théorème dit «de la limite de la dérivée»; étude de x -> x sin(1/x), puis de x -> x² sin(1/x); théorème de Rolle généralisé;
• vendredi 28: développements limités : définition, exemples, premières propriétés; le DL₀(a) de f existe ssi f est continue en a; le DL₁(a) de f existe ssi f est dérivable en a; si f possède une parité, alors la partie régulière du DL possède cette parité; somme, produit de D.L.; obtention des DL des fonctions usuelles avec l'inégalité de Taylor-Lagrange; intégration d'un DL;