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Septembre

• mardi 2: complexes: rappels et compléments; module, inégalité triangulaire; racines carrées d'un complexe; résolution de l'équation du second degré; exemple de résolution d'une équation particulière de degré 3; (2 heures)
• mercredi 3: forme trigonométrique, forme exponentielle d'un complexe; arguments, formule de Moivre; racines n-ièmes de l'unité: existence, énumération; somme de ces racines; racines n-ièmes d'un complexe non nul; (2 heures)
• vendredi 5: formulaire de trigonométrie; expression simple de sum(cos(kx),k=0..n); (2 heures)
  
• lundi 8: linéarisation, application au calcul d'intégrales; équations simples: sin(x) = sin(a), cos(x) = cos(a) et tan(x) = tan(a); transformation de l'expression a cos(x) + b sin(x) ; exponentielle d'un complexe; (2 heures)
• mardi 9: interprétation géométrique des complexes: points, vecteurs, normes, angles, translations, homothéties, rotations, similitudes; (1 heure) ensembles: rappels sur les notations; fonctions: injections, surjections, bijections; bijection réciproque; composée de bijections, formule pour la bijection réciproque de g o f; (1 heure)
• mercredi 10: définition, étude et propriétés des fonctions arcsin, arccos et arctan (2 heures); Maple: notion de feuille de calcul; exemples de calculs portant sur les entiers et les rationnels; exemples de calculs sur nombres à virgule (1 heure);
• vendredi 12: parties paire et impaire d'une fonction; définition, étude et propriétés des fonctions de ch, sh et th; définition et propriétés de argsh et argch (2 heures);
• lundi 15: définition et propriétés de argth; fonctions exponentielles de base quelconque; fonctions logarithmes de base quelconque; quelques exercices (2 heures);
• mercredi 17: opérateur de sommation; linéarité; changement d'indice; exemples divers, dont calcul de la somme des entiers de 1 à n, puis calcul de la somme des carrés; sommation d'inégalités; (2 heures);
• vendredi 19: convergence de la suite de terme général sum(1/k^2,k=1..n), encadrement de sa limite; opérateur produit; factorielle; calcul du produit des n premiers nombres impairs; exercices (2 heures)
• lundi 22: dénombrements: taille de l'union, du produit cartésien, de P(E); nombre de fonctions de E dans F; nombre d'injections; exercices; (2 heures)
• mardi 23: nombre de k-parties d'un ensemble à n éléments; exemples de sommations faisant intervenir des coefficients binomiaux; exemples de doubles décomptes; calcul intégral, rappels; propriétés élémentaires de l'intégrale; formule d'intégration par parties; inégalité de Cauchy-Schwarz; (2 heures)
• mercredi 24: cas d'égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz; formule de Taylor avec reste intégral; inégalité de Taylor-Lagrange; quelques exercices; (2 heures)
• vendredi 26: élection des délégués; sommes de Riemann; preuve de la convergence dans le cas où f est monotone; changement de variable dans les intégrales; (2 heures)
• lundi 29: changement de variable dans les intégrales (fin); méthode d'étude d'une intégrale fonction de ses bornes; (2 heures)

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Octobre

• mercredi 1er: fonction partie entière; raisonnement par récurrence; (2 heures)
• vendredi 3: équations différentielles: généralités; équation y'+a(x)y=0; équation y'+a(x)y=b(x); (2 heures)
• lundi 6: exemples de résolutions; méthode variation de la constante; équation différentielle y''+ay'+by = 0; (2 heures)
• mardi 7: équation différentielle y''+ay'+by = sum(P_k(x)exp(a_k*x)): méthode de résolution; étude des cas particuliers y'' + k y = 0; première approche des matrices: matrices carrées d'ordre 2, à coefficients dans R ou dans C; addition, produit par un scalaire, propriétés; (2 heures)
• mercredi 8: produit de deux matrices, propriétés; le produit n'est ni commutatif, ni régulier; déterminant d'une matrice carrée d'ordre 2; caractérisation des matrices inversibles; expression de l'inverse d'une telle matrice; transposition, propriétés; (2 heures)
• vendredi 10: généralités sur les suites; suites de réels: vocabulaire, modes de définition usuels (explicite, récurrente simple ou double, implicite); définition de la convergence, exemple de suite convergente, exemple de suite divergente; unicité de la limite; (2 heures)
• lundi 13: somme et produit de deux suites convergentes; inverse d'une suite convergente, de limite l>0; toute suite convergente est bornée; u(n) converge vers 0 ssi |u(n)| converge vers 0; propriétés spécifiques aux suites de réels; si u(n) converge vers l>0, alors u(n)>l/2 APCR; théorème de la limite monotone
• mercredi 15: suites adjacentes, série harmonique alternée; relation «être un petit o de»; définition, propriétés croissances comparées des suites de termes généraux respectifs ln(n)^alpha, n^beta, gammaⁿ et n!;
• vendredi 17: équivalence de deux suites: définition, propriétés, opérations sur les équivalents, exemples; en particulier, H_n est équivalent à ln(n); relation «être un petit o de» notation O (grand O): définition, propriétés;
• lundi 20: développement asymptotique à deux termes de H_n; étude des suites définies par u_n+1 = a u_n + b;
• mardi 21: suites de complexes: définition de la convergence; une suite de complexes converge vers a+ib ssi x_n converge vers a et y_n converge vers b; études des suites définies par u_n+2 = a u_n+1 + b u_n: description de l'ensemble des solutions;
• mercredi 22: lois de composition: vocabulaire, exemples, propriétés; groupes: définition, exemples;
• vendredi 24: sous-groupes: définition, intersection de deux sous-groupes; morphismes de groupes: définition, exemples; le noyau et l'image d'un morphisme soont des sous-groupes;; description des groupes d'ordre 1 à 4;

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Novembre

• vendredi 7: anneaux; sous-anneaux; morphismes d'anneaux; l'anneau des matrices carrées d'ordre 2;
• lundi 10: corps: définition, exemples, sous-corps, morphismes;
• mercredi 12: tout intervalle de R d'amplitude non nulle contient au moins un rationnel et au moins un irrationnel; définition de la borne supérieure, propriétés; description des intervalles de R;
• vendredi 14: continuité d'une fonction d'une variable réelle en un point de son intervalle de définition; caractérisation séquentielle de la continuité en un point; opérations sur les fonctions continues: somme, produit, quotient, composition, notation C(I,R); théorème des valeurs intermédiaires;
• lundi 17: toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes; théorème de la bijection; fonctions équivalentes; relation «être un petit o de»; notation O (grand O):
• mardi 18: croissances comparées usuelles; équivalents usuels (obtenus par examen de la dérivée);
• mercredi 19: dérivation: rappels; f est dérivable en a ssi f possède un DL₁(a); théorèmes relatifs à la somme, au produit, au quotient, à la composée, à la réciproque de fonctions dérivables;
• vendredi 21: théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, inégalité des accroissements finis; lien entre le signe de f' et le sens de variation de f: CNS pour que f soit croissante, CNS pour que f soit strictement croissante; pour une fonction dérivable f, la meilleure constante de Lipschitz est la borne supérieure de f';
• lundi 24: dérivées successives; définition des classes Dⁿ, Cⁿ et C^infini; théorèmes relatifs à la somme, au produit (formule de Leibniz), au quotient, à la composée, à la réciproque de fonctions de classe Dⁿ; dérivées successives de x -> xⁿ et x -> 1/x; dérivées successives de x -> sqrt(x);
• mercredi 26: maximum global, maximum local; en un maximum local qui n'est pas une borne de l'intervalle, f' s'annule; théorème dit «de la limite de la dérivée»; étude de x -> x sin(1/x), puis de x -> x² sin(1/x); théorème de Rolle généralisé;
• vendredi 28: développements limités : définition, exemples, premières propriétés; le DL₀(a) de f existe ssi f est continue en a; le DL₁(a) de f existe ssi f est dérivable en a; si f possède une parité, alors la partie régulière du DL possède cette parité; somme, produit de D.L.; obtention des DL des fonctions usuelles avec l'inégalité de Taylor-Lagrange; intégration d'un DL;

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Décembre

• lundi 1er: plan pour l'étude d'une fonction; méthode d'étude des branches infinies;
• mardi 2: rappels sur le barycentre de deux points; parties convexes du plan; définition d'une fonction convexe; inégalité de convexité à n points;
• mercredi 3: caractérisation de la convexité par les cordes; caractérisation par les fonctions F_x; caractérisation des fonctions convexes de classe D¹, puis de classe D²;
• vendredi 5: grande séance d'exercices: limites, continuité, dérivabilité, convexité
• lundi 8: coniques: généralités; définition monofocale; la parabole: équation réduite, paramétrage, équation d'une tangente; hyperbole définie monofocalement: équation réduite, asymptotes, allure de la courbe, définition de a, b et c, relation entre ces valeurs; paramétrages;
• mercredi 10: ellipse définie monofocalement: équation réduite, allure de la courbe, définition de a, b et c, relation entre ces valeurs; paramétrages; cercle principal, anomalie excentrique; aire de l'ellipse;
• vendredi 12: quelques exercices sur les coniques; espaces vectoriels: définition, exemples; règles de calcul dans les espaces vectoriels; combinaisons linéaires;
• lundi 15: sous-espaces: exemples, propriétés, caractérisation rapide; s.e.v. engendré par une partie non vide; caractérisation des s.e.v. par les combinaisons linéaires;
• mercredi 17: somme de deux s.e.v.; somme directe; supplémentaires; familles génératrices, espaces de dimension finie; familles libres: propriétés; lemme technique (toute famille de p+1 combinaisons linéaires de p vecteurs est liée); bases d'un e.v. de dimension finie;
• vendredi 19: théorème de la base incomplète; toutes les bases ont le même cardinal; dimension d'un s.e.v.; relations de Grassmann; applications linéaires: définition, exemples; caractérisation des applications linéaires par la conservation des combinaisons linéaires;

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Janvier

• lundi 5: compositions d'applications linéaires; l'anneau L(E); le groupe GL(E) des automorphismes de E; rang d'une application linéaire; théorème du rang;
• mardi 6: diverses caractérisations des isomorphismes entre K-e.v. de même dimension finie;
• mercredi 7: matrices: définition, structure de K-e.v. de M_n,p(K); base canonique de M_n,p(K); isomorphisme avec L(K^p,Kⁿ);
• vendredi 9: produit matriciel; associativité; structure d'anneau de M_n(K), isomorphisme avec L(Kⁿ); matrices inversibles; groupe GL_n(K);
• lundi 12: matrices de passage; changement de base; effet sur les coordonnées d'un vecteur, sur la matrice d'une application linéaire;
• mercredi 14: matrices triangulaires, diagonales; transposition, matrices symétriques; rang d'une matrice; caractérisation des matrices de rang r;
• vendredi 16: opérations élémentaires, interprétation en termes de produits matriciels; algorithme de calcul du rang d'une matrice;
• lundi 19: algorithme de calcul de l'inverse d'une matrice carrée; calcul pratique, au moyen d'opérations sur les lignes;
• mardi 20: polynômes: définition, exemples; opérations sur les polynômes: somme, produit par un scalaire; structure d'e.v. de K[X]; degré d'un polynôme, degré de la somme de deux polynômes; produit de polynômes; structure d'anneau;
• mercredi 21: base canonique de K_n[X]; toute famille de polynômes à degrés échelonnés de 0 à n est une base de K_n[X]; base canonique de K[X]; définition de X; fonction polynôme associée à un polynôme; racines d'un polynôme: définition, un polynôme de degré au plus n possédant au moins n+1 racines est nécessairement le polynôme nul;
• vendredi 23: dérivation des polynômes; formule de LEIBNIZ pour les polynômes; interpolation de Lagrange; description de la base de Lagrange;
• lundi 26: formules de TAYLOR pour les polynômes; relation entre ordre d'une racine de P, et racines des polynômes dérivés de P; décomposition en produit de facteurs irréductibles; description des polynômes irréductibles de C[X] et R[X]; extension de la notion de fonction polynôme; P(X) = P; un peu de culture: équations algébriques, élément algébrique sur un corps, X n'est pas algébrique sur K;
• mardi 27: algèbre bilinéaire: produit scalaire: définiton, exemples; norme euclidienne, propriétés, théorème de Pythagore, inégalité de Cauchy-Schwarz (1 heure); exercices (algèbre linéaire, matrices, polynômes)
• mercredi 28: procédé de Schmidt; définition des endomorphismes orthogonaux; caractérisations pour le cas d'un espace euclidien;
• vendredi 30 janvier:

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Février

• lundi 2 février: groupe orthogonal d'un espace euclidien; orthogonal d'une partie, puis d'un s.e.v. d'un espace euclidien; somme directe orthogonale de deux s.e.v.; existence du supplémentaire orthogonal; matrices orthogonales;
• mercredi 4 février: description de O(2) et GO(R²); déterminant d'une matrice carrée d'ordre 3: propriétés, det(M) est nul ssi M n'est pas inversible;
• vendredi 6 février: classification des automorphismes orthogonaux de R³; définition du produit mixte, propriétés: orientation de R³;
• lundi 9 février: définition du produit vectoriel, propriétés; rotations de R³: direction, angle;
• mercredi 11 février: comment déduire de la matrice d'un endomorphisme de R³ sa nature et ses éléments géométriques;
• vendredi 13 février:

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Mars

• lundi 2 mars: espaces vectoriels normés: définition, exemples; boules ouvertes, fermées; définition d'un ouvert; fonctions à valeurs dans un e.v.n.: limite, continuité, dérivabilité;
• mardi 3 mars: arcs paramétrés, étude globale;
• mercredi 4 mars: arcs paramétrés, étude locale;
• vendredi 6 mars: longueur d'un arc paramétré de classe C¹; exemples: segment, quart de cercle, chaînette;
• lundi 9 mars: repère polaire, coordonnées polaires; équation d'une courbe en coordonnées polaires; exemple: cercle centré en O, cercle passant par O, droite passant par O, droite ne passant pas par O; réduction de l'ensemble d'étude; repère local, définition de la tangente;
• mercredi 4 mars: exemples d'études de courbes définies par une équation polaire: caridoïde, spirale d'Archimède, spirale logarithmique; exemples de courbes présentant une asymptote;
• vendredi 13 mars: fonctions de deux variables: limite, limite selon un vecteur; continuité; opérations sur ces fonctions;
• lundi 16: dérivée selon un vecteur; dérivées partielles; définition des points critiques, exemples;
• mardi 17: fonctions de classe C¹; existence du développement limité à l'odre 1, pour une telle fonction;
• mercredi 18: extremums locaux, exemples pratiques; dérivées partielles du deuxième ordre; théorème de Schwarz;
• vendredi 20:
• lundi 23 :
• mercredi 25:
• vendredi 27:
• lundi 30:
• mardi 31: géométrie euclidienne: distance d'un point à une droite (du plan ou de l'espace), à un plan; plus courte distance entre deux droites;
• mercredi 1er:

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Avril

• vendredi 3: séance d'exercices: espaces euclidiens, géométrie, polynômes;
• lundi 6 : intégrales doubles: sur un pavé; cas du produit de deux fonctions f(x) et g(y); extension à une réunion de pacés deux à deux disjoints ou quasi-disjoints; extension à un domaine délimité par deux droites verticales et deux courbes d'équation y=p(x) et y=q(x), avec p(x) < q(x); quelques exemples de calculs; détermination des coordonnées du centre de gravité d'une plaque homogène, cas d'un demi-disque;
• mercredi 8:
• vendredi 10:
• lundi 27 :
• mardi 28:
• mercredi 29:

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Mai

• lundi 11 mai:
• mecredi 13 mai:
• vendredi 15 mai:
• lundi 18 mai:
• mardi 19 mai:
• mercredi 20 mai:
• vendredi 22 mai:
• lundi 25 mai: repère de Frenet; définition de la courbure et du rayon de courbure; détermination du centre de courbure; exemples: cercle, cycloïde, cardioïde
• mercredi 27 mai: formes différentielles; intégrale curviligne; circulation d'un champ de vecteurs; formule de Green-Riemann
• vendredi 29 mai:

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Juin

• mercredi 3 juin: techniques de calcul intégral appliquées: intégration de fractions rationnelles; intégrations par parties;
• vendredi 5 juin:
• lundi 8 juin: divisibilité dans N; nombres premiers; il existe une infinité de nombres premiers; existence et unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers;
• mardi 9 juin:
• mercredi 10 juin: construction de l'intégrale de Riemann; fonctions en escalier; fonctions continues par morceaux; définition de l'intégrabilité au sens de Riemann; exemple de fonction non intégrable au sens de Riemann; propriétés: linéarité, positivité, relation de Chasles;
• vendredi 12 juin:
• lundi 15 juin:
• mercredi 17 juin:
• vendredi 19 juin: