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Septembre

• mardi 4: complexes: rappels et compléments; module, inégalité triangulaire; arguments, formulaire de trigonométrie; racines carrées d'un complexe; résolution de l'équation du second degré; (3 heures)
• mercredi 5: résolution d'équations particulières de degré 3 ou plus; formule de Moivre; linéarisation, application au calcul d'intégrales; (2 heures)
• vendredi 7: équations simples: sin(x) = sin(a), cos(x) = cos(a) et tan(x) = tan(a); transformation de l'expression a cos(x) + b sin(x) ; racines n-ièmes de l'unité: existence, énumération; somme; racines n-ièmes d'un complexe non nul; (2 heures)
• lundi 10: interprétation géométrique des complexes;
• mardi 11: exponentielle d'un complexe; exercices de géométrie dans le plan complexe; ensembles: rappels sur les notations; fonctions: injections, surjections, bijections; bijection réciproque; composée de bijections, forme pour la bijection réciproque de g o f; (2 heures)
• mercredi 12: développements limités; il s'agit d'une rapide présentation, destinée à donner aux étudiants les outils requis par l'enseignement de la physique; fonctions usuelles: exp, ln, autres fonctions exponentielles et logarithmes; sh, ch, th; tan et cotan; correction de plusieurs exercices; (4 heures)
• vendredi 14: définition et propriétés de ch, sh et th; parties paire et impaire d'une fonction; (2 heures)
• lundi 17: définition et propriétés de argsh, argch et argth; (2 heures)
• mercredi 19: opérateur de sommation; linéarité; changement d'indice; exemples divers, dont calcul de la somme des entiers de 1 à n, puis calcul de la somme des carrés; (2 heures)
• vendredi 21: sommation d'inégalités; convergence de la suite de terme général sum(1/k^2,k=1..n), encadrement de sa limite; opérateur produit; factorielle; calcul du produit des n premiers nombres impairs; (2 heures)
• lundi 24:
• mardi 25: équations différentielles: généralités; équation y'+a(x)y=0;
• mercredi 26: équation différentielle y'+a(x)y=b(x); méthode variation de la constante; équation différentielle y''+ay'+by = 0;
• vendredi 28: équation différentielle y''+ay'+by = sum(P_k(x)exp(a_k*x));

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Octobre

• lundi 1^er: fonction partie entière; dénombrements: taille de l'union, du produit cartésien, de P(E);
• mercredi 3: nombre de fonctions de E dans F; nombre d'injections; nombre de k-parties d'un ensemble à n éléments; exercices;
• vendredi 5: calcul intégral, rappels; propriétés élémentaires de l'intégrale; intégration par parties; formule de Taylor avec reste intégral; inégalité de Taylor-Lagrange;
• lundi 8: inégalité de Cauchy-Schwarz, cas d'égalité; sommes de Riemann; preuve de la convergence dans le cas où f est monotone;
• mardi 9: changement de variable dans les intégrales; méthode d'étude d'une intégrale fonction de ses bornes;
• mercredi 10: relations; relations d'ordre, vocabulaire; tout intervalle de R d'amplitude non nulle contient au moins un rationnel et au moins un irrationnel; définition de la borne supérieure, propriétés;
• vendredi 12: sup(A+B) = sup(A) + sup(B); on montre qu'il existe neuf types d'intervalles; suites: vocabulaire; définition de la convergence, exemple de suite convergente, exemple de suite divergente;
• lundi 15: unicité de la limite; toute suite convergente est bornée; u(n) converge vers 0 ssi |u(n)| converge vers 0; si u(n) converge vers l>0, alors u(n)>l/2 APCR;
• mercredi 17: somme et produit de deux suites convergentes; inverse d'une suite convergente, de limite l>0;
• vendredi 19: propriétés spécifiques aux suites de réels;
• lundi 22: théorème de la limite monotone
• mardi 23: suites récurrentes linéaires (ordre un, ordre deux);
• mercredi 24: convergence d'une suite définie par l'itération d'une fonction contractante;
• vendredi 26: équivalence de deux suites: définition, propriétés, opérations sur les équivalents, exemples; en particulier, H_n est équivalent à ln(n); relation «être un petit o de» : définition, propriétés, lien avec l'équivalence des suites; croissances comparées des suites de termes généraux respectifs ln(n)^alpha, n^beta, gammaⁿ et n!; notation O (grand O): définition, propriétés;

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Novembre

• vendredi 9: lois de composition; groupes: définition, exemples; sous-groupes, morphismes de groupes;
• lundi 12: description des groupes d'ordre 1 à 4; comparaison de S₃ et de U₆;
• mercredi 14: anneaux; sous-anneaux; morphismes d'anneaux; l'anneau des matrices carrées d'ordre 2;
• vendredi 16: déterminant d'une matrice carrée d'ordre 2; CNS d'inversibilité; corps: définition, exemples, sous-corps, morphismes; automorphismes des corps Q, R et C;
• lundi 19: limite, continuité d'une fonction d'une variable réelle; caractérisation séquentielle; prolongement par continuité; opérations sur les limites, sur les fonctions continues;
• mercredi 21: théorème des valeurs intermédiaires; théorème de la bijection; toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes;
• vendredi 23: relations de comparaison; croissances comparées usuelles;
• lundi 26: dérivation: rappels; théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, inégalité des accroissements finis;
• mercredi 28: fonctions lipschitziennes: définition, exemples; propriétés élémentaires; pour une fonction dérivable f, la meilleure constante de Lipschitz est la borne supérieure de f';
• vendredi 30: lien entre le signe de f' et le sens de variation de f; extremums locaux; dérivées successives; théorèmes relatifs à la somme, au produit, au quotient, à la composée, à la réciproque de fonctions de classe Dⁿ;

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Décembre

• lundi 3: développements limités : définition, exemples, premières propriétés; somme, produit de D.L.;
• mercredi 5: composition de D.L.; quotient de D.L.; cinq méthodes pour obtenir le DL₅ de la fonction tan; les preuves ne sont pas détaillées;
• vendredi 7: exemples de développements limités généralisés; un exemple de développement asymptotique;
• lundi 10: plan pour l'étude d'une fonction; méthode d'étude des branches infinies;
• mardi 11: rappels sur le barycentre de deux points; parties convexes du plan; définition d'une fonction convexe; inégalité de convexité à n points;
• mercredi 12: caractérisation de la convexité par les cordes; caractérisation par les fonctions F_x; caractérisation des fonctions convexes de classe D¹, puis de classe D²;
• vendredi 13: convexité (compléments); espaces vectoriels: définition, exemples;
• lundi 17: sous-espaces: exemples, propriétés; s.e.v. engendré par une partie non vide; somme de deux s.e.v.; somme directe; supplémentaires;
• mercredi 19: combinaisons linéaires; caractérisation des s.e.v. par les combinaisons linéaires; familles génératrices, espaces de dimension finie; familles libres, lemme technique, bases d'un e.v. de dimension finie;
• vendredi 21: théorème de la base incomplète; toutes les bases ont le même cardinal; relations de Grassmann; dimension d'un s.e.v.;

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Janvier

• lundi 7: applications linéaires; caractérisation des applications linéaires par la conservation des combinaisons linéaires; le K-e.v. L(E,F);
• mercredi 9: compositions d'applications linéaires; l'anneau L(E); le groupe GL(E) des automorphismes de E;
• vendredi 11: rang d'une application linéaire; théorème du rang;
• lundi 14: diverses caractérisations des isomorphismes d'un K-e.v. de dimension finie;
• mardi 15: matrices: définition, structure de K-e.v. de M_n,p(K); base canonique de M_n,p(K); isomorphisme avec L(K^p,Kⁿ);
• mercredi 16: produit matriciel; associativité; structure d'anneau de M_n(K), isomorphisme avec L(Kⁿ);
• vendredi 18: matrices inversibles; groupe GL_n(K); matrices de passage; changement de base; effet sur les coordonnées d'un vecteur, sur la matrice d'un morphisme;
• lundi 21: matrices triangulaires, diagonales; transposition, matrices symétriques; rang d'une matrice; caractérisation des matrices de rang r;
• mercredi 23: opérations élémentaires, interprétation en termes de produits matriciels; algorithme de calcul du rang d'une matrice;
• vendredi 25: algorithme de calcul de l'inverse d'une matrice carrée;
• lundi 28: transposition, matrices symétriques; exercices;
• mardi 29: polynômes: définition, degré; structure d'e.v.; base canonique de K[X]; degré, degré d'une somme; définition et base canonique de K_n[X]; toute famille de polynômes à degrés échelonnés de 0 à n est une base de K_n[X]; produit de polynômes; structure d'anneau;
• mercredi 30: division euclidienne; fonction polynôme; racines d'un polynôme;

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Février

• vendredi 1^er: un polynôme de degré au plus n possédant au moins n+1 racines est nécessairement le polynôme nul; interpolation de Lagrange; description de la base de Lagrange;
• lundi 4: dérivation des polynômes; expression de D^k(Xⁿ); formule de Leibniz; formule de Taylor; relation entre ordre d'une racine de P, et racines des polynômes dérivés de P;
• mercredi 6: décomposition en produit de facteurs irréductibles; description des polynômes irréductibles de C[X] et R[X]; extension de la notion de fonction polynôme; P(X) = P; un peu de culture (équations algébriques, élément algébrique sur un corps, X n'est pas algébrique sur K);
• vendredi 8: étude de la famille de polynômes associée aux dérivées successives de x -> exp(-1/x);
• lundi 11: produit scalaire: définiton, exemples; norme euclidienne, propriétés; espaces euclidiens, bases orthonormées;
• mardi 12: procédé de Schmidt; définition des endomorphismes orthogonaux; caractérisations pour le cas d'un espace euclidien;
• mercredi 13: groupe orthogonal d'un espace euclidien; orthogonal d'une partie, puis d'un s.e.v. d'un espace euclidien; somme directe orthogonale de deux s.e.v.; existence du supplémentaire orthogonal;
• vendredi 15: description de O(2) et GO(R²); exercices;
• lundi 18: description sommaire de O(3) et GO(R³); orientation de R³;
• mercredi 20: produit mixte de 3 vecteurs de R³; propriétés du produit mixte; déterminant d'une famille de 3 vecteurs de R³; produit vectoriel: définition, propriétés;
• vendredi 22: calcul de la matrice d'une réflexion, d'un demi-tour, d'une rotation;

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Mars

• lundi 10: quelques exercices sur les matrices; coniques: généralités, la parabole;
• mercredi 12: ellipse monofocale; hyperbole monofocale;
• vendredi 14: ellipse bifocale; hyperbole bifocale;
• lundi 17: réduction de l'équation générale d'une conique en coordonnées cartésiennes;
• mercredi 19: exercices de calcul matriciel; espaces vectoriels normés: définition, exemples; boules ouvertes, fermées; définition d'un ouvert;
• vendredi 21: fonctions à valeurs dans un e.v.n.: limite, continuité, dérivabilité;
• lundi 24: arcs paramétrés, étude globale;
• mardi 25: arcs paramétrés, étude locale;
• mercredi 26:
• vendredi 28:
• lundi 31:

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Avril

• mercredi 2:
• vendredi 4:
• lundi 7: fonctions de deux variables: limite, limite selon un vecteur; continuité; opérations sur ces classes de fonctions;
• mardi 8: dérivée selon un vecteur; dérivées partielles; fonctions de classe C¹; existence du développement limité à l'odre 1, pour une telle fonction;
• mercredi 9:
• vendredi 11: extremums locaux, exemples pratiques; dérivées partielles du deuxième ordre; théorème de Schwarz;

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Mai

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Juin