\section{La conjecture de \NomPropre{\v Cern\'y} dans un cas particulier}

\begin{panneau}
Dans les deux questions suivantes, $\sim$ est une relation d'Žquivalence 
sur $Q$, d'index $r$. 
\end{panneau}

\begin{question}
Soient $q$ et $q'$ deux ŽlŽments de $Q$. 
Montrez que si $\mmm(q) \sim \mmm(q')$ pour tout mot $m$ de longueur 
infŽrieure ou Žgale ˆ $n-r+1$, 
alors $\mmm(q) \sim \mmm(q')$ pour tout mot $m$.
\end{question}

\begin{question}
Soit $Z$ une famille de $r$ ŽlŽments de $Q$. 
Supposons que $\mmm(Z)$ est un transversal de $\sim$ pour tout mot $m$ 
de longueur infŽrieure ou Žgale ˆ $n-r+1$. 
Montrez que $\mmm(Z)$ est un transversal de $\sim$ pour tout mot $m$.
\end{question}

\begin{question}
Soit $w$ un mot de rang au plus $r$. Montrez que s'il existe un mot 
de rang strictement infŽrieur ˆ $r$, alors il existe un mot 
de rang strictement infŽrieur ˆ $r$, et de longueur au plus Žgale ˆ 
$2 |w| + n - r + 1$.
\end{question}

\begin{question}
Supposons qu'il existe une lettre de rang $r<n$ et un mot de rang $k<r$. 
Montrez qu'il existe un mot de rang $k$ et de longueur 
au plus Žgale ˆ $(2^{r-k}-1)(n-r+1)+2^{r-k+1}-(r-k+1)$.
\end{question}

\begin{question}
En dŽduire que s'il existe une lettre de rang $r˛1+\lg(n)$, alors 
il existe un mot synchronisant de longueur au plus $(n-1)^2$.
\end{question}

\endinput

\begin{panneau}

\end{panneau}