\section{Un peu d'algbre (linaire et bilinaire)} \begin{panneau} Le $\R$-e.v. $\R^n$ est muni du produit scalaire canonique; le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sera not $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ ou $\proscal{\overrightarrow{u}}{\overrightarrow{v}}$ selon le contexte. Nous identifierons les tats de $Q$ aux lments de la base canonique de $\R^n$, que nous noterons $\BBB = (q_j)_{1jn}$. Pour toute partie $K$ de $Q$, nous noterons $\displaystyle \overrightarrow{K} = \sum_{q\in K} q$. \end{panneau} \begin{question} Soient $K_1$ et $K_2$ deux parties de $Q$; montrez que $|K_1 \cap K_2|$ est gal au produit scalaire $\proscal{\overrightarrow{K_1}}{\overrightarrow{K_2}}$. \end{question} \begin{panneau} Soit $\sim$ une relation d'quivalence sur $\BBB$; notons $S_1,\ldots,S_r$ les classes modulo $\sim$: nous dirons que $r$ est l'\emph{index} de $\sim$. \end{panneau} \begin{question} Soient $q\in Q$ et $i\in\IntervalleDiscret{1}{r}$. Montrez que $\proscal{q}{\overrightarrow{S_i}}$ est gal ~1 si $q$ appartient $S_i$, ~0 sinon. \end{question} \begin{question} Montrez que la famille $\bigl( \overrightarrow{S_i} )_{1ir}$ est libre. \end{question} \begin{panneau} Notons $\FFF$ le s.e.v. de $\R^n$ engendr par la famille $\bigl( \overrightarrow{S_i} )_{1ir}$; et $\GGG$ le s.e.v. de $\R^n$ engendr par les vecteurs $q_j-q_k$ tels que $q_j \sim q_k$. \end{panneau} \begin{question} Justifiez l'affirmation suivante: si $q_j \sim q_k$, alors $q_j-q_k$ est orthogonal chaque $\overrightarrow{S_i}$. \end{question} \begin{panneau} Nous venons de montrer que les s.e.v. $\FFF$ et $\GGG$ sont orthogonaux. \end{panneau} \begin{question} Montrez que tout lment de ${\cal B}$ est la somme d'un lment de $\FFF$ et d'un lment de $\GGG$. \end{question} \begin{question} Que pouvez-vous affirmer au sujet de deux s.e.v. $\FFF$ et $\GGG$? \end{question} \begin{panneau} Soit $m\in \Alphabet^*$; il existe un et un seul endomorphisme qui envoie chaque $q_j$ sur $\mmm(q_j)$; nous le noterons $\mmm$. Remarquons que $\rho(m)$ est aussi le rang de $\mmm$. \end{panneau} \begin{question}\DoubleEtoile Soit $K \subset Q$. Montrez que $\overrightarrow{\mmm(K)} = \mmm\bigl( \overrightarrow{K} \bigr)$ ssi la restriction de $\mmm$ $K$ est injective. \end{question} \begin{panneau} Soit $T = (t_i)_{1ir}$ une famille de $r$ lments de $Q$. Nous dirons que $T$ est un \emph{transversal} de $\sim$ si $T$ contient un et un seul lment de chaque classe modulo $\sim$. \end{panneau} \begin{question} Montrez que $T$ est un transversal de $\sim$ ssi $\proscal{\overrightarrow{T}}{\overrightarrow{S_i}} = 1$ pour tout $i\in\IntervalleDiscret{1}{r}$. \end{question} \begin{question} Montrez que si $\mmm(T)$ est un transversal de $\sim$, alors $T$ est lui aussi un transversal de $\sim$. \end{question} \endinput