\section{Id�aux de $\Alphabet^*$}

\begin{panneau}
Un \emph{id�al} de $\Alphabet^*$ est un langage $L$ v�rifiant 
$L = \Alphabet^* L \Alphabet^*$. 
Nous avons montr� � la question~\ref{sync-ideal} 
que $\Sync({\cal A})$ est un id�al. 
\end{panneau}

\begin{panneau}
Soient $L \subset \Alphabet^*$ et $m\in L$. Nous dirons que $m$ est 
\emph{minimal} si aucun facteur de $m$ (autre que $m$ lui-m�me) 
n'appartient � $L$. 
Nous noterons $\Base(L)$ l'ensemble des mots minimaux de $L$. 
Soit $L$ un id�al de $\Alphabet^*$. 
\end{panneau}

\begin{question}
Montrez que $L$ est vide ssi $\Base(L)$ est vide.
\end{question}

\begin{question}
Montrez que $L = \Alphabet^* \Base(L) \Alphabet^*$.
\end{question}

\begin{question}
Montrez que toute partie $C$ de $\Alphabet^*$ telle que 
$L = \Alphabet^* C \Alphabet^*$ contient $\Base(L)$.
\end{question}

\begin{panneau}
$\Base(L)$ est donc la plus petite partie g�n�ratrice de $L$; 
nous dirons que c'est la \emph{base} de $L$.
Nous dirons qu'un id�al est \emph{de type fini} si sa base est finie.
\end{panneau}

\begin{question}
Justifiez rapidement l'affirmation suivante: tout id�al de type fini 
est rationnel.
\end{question}

\begin{question}
Exhibez un id�al rationnel qui ne soit pas de type fini.
\end{question}

\begin{question}\DoubleEtoile
Exhibez un id�al non rationnel.
\end{question}

\begin{question}
Soient $L$ et $M$ deux id�aux de $\Alphabet^*$. 
Le langage $L \cup M$ est-il un id�al de $\Alphabet^*$? 
Le langage $L \cdot M$ est-il un id�al de $\Alphabet^*$? 
\end{question}

\begin{question}
Soit $L$ un id�al de $\Alphabet^*$. 
Donnez une condition n�cessaire et suffisante pour que $L^*$ 
soit un id�al de $\Alphabet^*$.
\end{question}

\endinput